5강. 조건부 확률, 승법정리

 

5.1 조건부 확률 

 

사상 A가 일어난 상황 아래에서 사상 B가 일어날 확률을 조건부 확률이라고 하고 

P(B|A)로 표시한다. (해당 표기는 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률을 뜻함) 

 

주의할 점은 A가 먼저 일어났고 B가 나중에 일어났다는 보장이 없다는 점이다. 

즉 시간적으로 A가 먼저 발생해야하는 것은 아니다. 

A가 일어나진 않았지만 일어난다는 것을 미리 알고있을 때 B를 예측해야하는 상황이 있을 수 있다. 

 

조건부확률은 전체를 무엇으로 보는가?에 대해 생각해야한다. 

 

즉 표본공간을 축소한 후, 이를 전체로 보고, 그 전체중 사상이 일어날 확률이 조건부 확률이다. 

(EX. 표본공간을 전체로 둘 경우 , B가 일어날 확률은 P(B)이지만 A를 전체로 둘 경우, B가 일어날 확률은 P(B|A) 이다. ) 

 

 

 

갯수가 아닌 확률로 생각했을때도, (=고전적,수학적 정의로서의 확률)

원소의 확률이 동일하지 않아도,(=공리적 정의로서의 확률) 

저 식은 성립한다. 

따라서 조건부확률은 위의 식을 일반적 정의로 삼는다. 

 

조건부 확률은 관점에 따라서 변할 수 있다. 

 

예를 들어서 

 

M: 남학생일 사상 

E: 취업상태일 사상 이라고 생각해보자 . 

어느 대학의 졸업생 취업상태를 조사했더니 다음과 같은 표로 정리가 되었다. 

 

이때 P(M|E)는 취업했다는 말을 듣고 남자가 될 확률이고 값은 23/30이다. 

반면 P(M)는 남자가 될 확률이고 값은 5/9이다. 

즉 M이라는 남자가 될 사상이 P(M|E)와 P(M)에 있지만, 서로 값이 다른 이유는 

'취업을 했다는 말'의 정보를 들었는가 안들었는가 즉 정보의 유무에 있다. 

어떤 정보를 얻음으로써(알게되었을 때) 확률이 영향을 받는다는 점을 알 수 있다. 

부가적인 정보가 확률을 변하게 한다. 

 

앞서 조건부확률의 일반적인 정의에 대해서 알아보았는데 이 정의를 통해 

승법정리를 알 수 있다. 

 

승법정리란 두 사상 A와 B가 동시에 발생할 수 있다면, 다음과 같다. 

A와 B가 동시에 발생할 확률은 A가 일어날 확률에다가 A가 발생했다고 쳤을때 B가 일어날 확률이다.

 

참고로 A와 B가 동시에 발생할 확률은 B가 일어날 확률에다가 B가 발생했다고 쳤을때 A가 일어날 확률로도 구할 수 있다.

 

아까, 부가적인 정보가 확률에 영향을 끼친다라고 얘기했지만, 정보를 받아도 확률이 정보를 받기전과 

동일한 경우가 있을 수 있다 이는 독립성과 연관이 있다. 

 

확률값이 변하는 상황을 보았지만 , 변하지 않는 상황일땐, 두 사상 A,B가 독립이라고 하고 

A,B가 독립이면, P(B|A) =P(B)가 성립한다. 

해당 식은 A가 일어나든 일어나지 않든 A가 'B가 일어날 확률'에 영향을 끼치지 않는다의 의미를 갖고있다. 

즉 A와 B가 서로 독립이다를 뜻한다. 

 

또한