3강. 표본공간, 사상, 경우의 수

 

3강에서 표본공간과 사상, 경우의 수에 대해서 배울 것이다.

 

3.1 표본공간

여기 상자가 있다. 

이 상자를 열었을때 무엇이 나오는가?에 대해서 생각해보면,

아무런 정보가 없다고 생각했을 때 정확히 하나를 꼭 집어서 무언가 나올 것이다라고 생각하기는 어려울 것이다. 

그래서 하나를 예측하는 것보다 무엇,무엇이 나올것이다~라는 범위를 가지고

상자 안에 들어있는 게 무엇인가?에 대해서 생각하는 것이 더 쉬울 것이다. 

 

이때 등장하는 개념이 표본공간이다.

표본공간이란 가능한 모든 결과를 모아둔 것을 말한다. 

(표본공간(sample space): 통계적 실험에서 발생가능한 모든 결과들의 집합)

표본점(sample point): 표본공간의 원소

추가적인 사실은 동일한 시행임에도 불구하고, 관점에 따라서 표본공간이 다를 수 있다는 점이다. 

예를 들어서 한 개의 주사위를 던지는 실험에서 윗면에 나타난 숫자에 관심을 가지면 표본공간은 다음과 같다.

주사위 윗면이 나오는 경우는 1,2,3,4,5,6이 있다.

그러나 한 개의 주사위를 던지는 실험에서 윗면에 나타난 숫자가 짝수인지 홀수인지에 관심을 가지면 표본공간은 이렇다.

 

3.2 사상

 

앞서 표본공간에 대해 배웠다. 

만약 이 상자를 열었을 때 나올 수 있는 경품이

연필, 지우개, 노트북, 휴대폰,  휴대용충전기, 영화무료티켓이 있다고 해보자 

그렇다면 표본공간은 S={ 연필, 지우개, 노트북, 휴대폰, 휴대용충전기, 영화무료티켓} 이다. 

 

여기서 A라는 사람이 휴대폰이 나올 경우에만 관심이 있는 경우 혹은 

휴대폰, 영화무료티켓이 나올 경우에만 관심이 있는 경우, '사상'의 개념과 연관지어 생각해볼 수 있다. 

 

이런 표본공간에서 특정한 한 개 혹은 부분이 발생하는 것에 관심이 있을때 그것을 사상으로 표현한다. 

 

사상(event) : 표본공간의 부분집합 

(사상은 사건이랑 비슷하다고 보면 됨) 

 

예를 들어 주사위를 한번 던지는 경우, 표본공간은  {1,2,3,4,5,6}이라고 했다. 

여기서 주사위의 눈이 4가 나오는 사상은 {4} 이다. 

 

공집합과 표본공간 자체도 표본공간의 부분집합이 되어 사상이 된다. 

단순사상: 표본점 하나로 이루어진 사상을 말한다 (EX. 주사위의 눈이 4가 나오는 사상: {4})

복합사상: 여러개의 표본점으로 이루어진 사상을 말한다 (EX. 주사위의 눈이 홀수인 사상:{1,3,5} )

 

· 여러가지 사상 

벤다이어그램으로 표현함

 

3.3 경우의 수 

 

이제 표본공간에서 원소의 갯수가 얼마인가?에 대해 알아보기 위해 필요한 경우의 수에 대해서 배워보자

 

곱의 법칙: 첫 번째 시행이 n1가지 방법, 두 번째 시행이 n2가지 방법이 있으면, 

두 시행이 독립적으로 행해진다는 가정하에! 두 가지 시행이 이루어지는 것은 n1*n2가지 방법이 있다.

 

순열

 

원순열

 

같은 것이 있을때 순열 

 

 

· 분할 :  n개의 대상물을 r개의 부분으로 나누는 경우 첫 번째 부분에 n1개, 두 번째 부분에 n2개, ..., r번째 부분에 nr 개가 속하도록하는 분할 방법의 수 

왜 이렇게 되는지 설명한다면 

분할이란 전체 집합에서, 남는 것 없이, 겹치지 않게, 부분집합으로 그룹을 나누는 것을 뜻한다. 

이때 그룹 안의 배열은 상관이 없다. 그림으로 표현하면 다음과 같다

n개의 서로 다른 공을 다른 조각(바구니)에 넣는 것처럼, 그룹으로 나누는 방법이다. 이때 그 조각(바구니)안에 공들의 배열에는 관심이 없고 그저 넣는 것에 관심이 있다.

 

주의할 점이 앞서 말했지만, 각 조각안에 예를들어 1번공이 앞에 있는지,

2번공이 뒤에있는지와 같은 배열에는 관심이 없다는 점이다.

 

배열하는 방법은, 조각들은 고정시키고, 공들을 배열해주면 된다. 

 공을 배열하는 경우의 수 n! 을 한다면, 

자동으로 각 nk번째 부분에 nk개 속하는 조각에 n개의 공들이 들어가게 할 수 있지만 

이때 , n!안에는 그룹안의 배열까지 들어있으므로, 이를 제외시키기 위해서 

n1!, n2!, n3!,..., nk!로 나누어줘야한다. 따라서 식이 위와 같이 완성된다. 

 

또 여기서 추가적으로 식을 이렇게 표현한다는 점도 기억하자

 

 

마찬가지로 

 

조합: 서로다른 n개중 순서를 고려하지 않고 r개를 선택하는 조합 역시 표기를 다음과 같이 한다.