4강. 사상의 확률, 가법정리

 

 

4.1 사상의 확률 

 

※ 표본공간의 원소가 유한한 것만 고려(나중에 공리적 확률 언급할때 다시 말함)

 

확률: 통계적 실험에서 사상이 일어날 가능성을 0에서 1사이의 숫자로 나타낸 값

 

사상의 확률: 사건이나 상황이 일어날 확률 

 

P(A) : 사상 A가 일어날 확률

 

표본공간의 모든 표본점에 대한 확률의 합이 1이 되도록 배분됨

따라서 사상 A의 확률은 A안의 표본점에 할당된 확률을 모두 더한다.

 

 

예를 통해서 사상의 확률을 구해보자. 

하나의 동전을 두 번 던져서 적어도 한 번은 앞면이 나올 확률은 얼마인가?

표본공간은 동전이 앞면/뒷면, 뒷면/앞면, 앞면/앞면, 뒷면/뒷면 이렇게 4가지 원소로 구성된 집합이다.

 

이때 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일하다고 가정한다면, 

각각의 원소에 해당하는 사상은 모두 동전을 두번 던지므로 , 

4가지의 표본점들은 동일한 확률을 가진다. 즉 표본점들마다 1/4씩 확률을 가진다. 

 

적어도 앞면이 나올 확률에 해당하는 사상은 앞면/뒷면, 앞면/앞면, 뒷면/앞면이고

표본점에 할당된 확률을 모두 더하는 것이므로, 

앞면이 나올 확률에 해당하는 사상의 확률은 

1/4+1/4+1/4 =3/4 

 

다음 예제를 풀어보고 고전적 · 수학적 정의로서의 확률에 대해 생각해보자 

 

-짝수가 홀수보다 2배 만큼 더 많이 발생하는 주사위가 있다.

그 주사위를 한번 던져 4보다 작은 수가 나올 사상을 

E라고 할 때 P(E)를 구하라. -

 

표본공간:{1,2,3,4,5,6} 인데, 각 표본점에 해당하는 확률은 동일하지 않다. 

그러나 전체 표본공간의 확률이 1이란 점을 생각한다면, 

홀수에 해당하는 확률: w , 짝수에 해당하는 확률 : 2w 이 부여된다고 생각했을때 

3w = 1 따라서 w=1/3 이 홀수에 해당하는 확률이고 

각 홀수에 해당하는 수인 1, 3,5 가 나올 확률은 동일하므로 1/3 ÷ 3 = 1/9 

각 짝수에 해당하는 수인 2,4,6이 나올 확률도 서로 동일하므로 2/3 ÷ 3= 2/9 

 

따라서 표본공간 안에 1,2,3,4,5,6 표본점들은 각각 

1/9, 2/9, 1/9, 2/9, 1/9, 2/9 이란 확률을 부여받았다. 

 

주사위를 한번 던져 4보다 작은 수가 나올 사상은 {1,2,3} 이므로 

사상의 확률은 1/9 + 2/9  + 1/9 = 4/9 이다. 

 

즉 사상의 확률은 표본점들의 확률을 더한 값이고, 

앞의 예제는 짝수·홀수에 따라서 확률이 다르게 부여되었지만, 

표본점들이 각각 동일한 확률을 가지고 있던 경우의 첫번째 예제를 생각해본다면, 

표본점들이 각각 동일한 확률을 가지고 있다면, 사상이 일어날 확률은 

원소의 갯수만 알면 구할 수 있다. 

 

따라서 사상 A의 확률을 고전적, 수학적으로 정의한다면 n/N이 된다. 

 

 

즉 표본공간이 N개의 원소를 가지고 있고, 각 원소의 발생확률이 동일한다면,

N개의 원소에 각각 확률 1/N을 할당하고 이를 토대로 사상의 확률을 구한다. 

 

 

· 이렇듯 고전적, 수학적으로서의 확률은 표본점들의 동일한 확률을 전제를 두고있는데 

만일, 표본점의 발생확률이 동일하지 않은 경우에는 어떻게 확률을 산정할 수 있을까? 

 

표본점의 발생확률이 동일하지 않은 경우는 실생활에서 엿볼 수 있다. 

가령,

공장에서 불량품과 양품이 일어날 확률은 

반반이 되어선 안된다. 당연히 불량품보다 양품이 일어날 확률이 더 커야하고 클수록 좋다. 

 

또 다른 예로는 윷이 있다.

여기 윷이 있다. 윷도 동전처럼 앞뒤가 있는데 앞면은 평평하고 뒷면은 볼록하다.

 

윷의 뒷면이 볼록하기 때문에 윷을 던졌을때 윷의 뒷면이 바닥에 닿으면, 구르기가 쉽다. 

결론적으로 윷의 평평한 앞면이 바닥에 닿기 쉽기 때문에, 

윷을 던질때 앞면의 나올 확률보다 뒷면이 나올 확률이 크다. 

 

또 다른 예로는 앞서 풀어봤던 예제 중에 

 

홀수가 나올 확률 

짝수가 나올 확률 에 대한 문제가 있었다.

이때 2,4,6 원소에 대응되는 확률값은 2/9였고 

1,3,5의 원소에 대응되는 확률값은 1/9 였으므로, 

각 원소마다 확률값이 동등하지 않다는 것을 확인할 수 있다. 

 

 

이렇듯 어떤 실험에서 각 결과의 발생확률이 동일하지 않다면 ,

확률은 사전지식이나 실험적 근거에 의해 할당되어야 한다. 

 

실험적 근거에 의해 확률이 할당될려면, 

몇 번가지고 이를 바탕으로 확률이 할당되면 안될 것이다. 

충분히 많은 실험을 통해 이로부터 나온 사건의 발생 횟수를 가지고 확률을 구해야한다. 

 

따라서 이때 극한 이라는 개념이 나오게 된다.

정리하면, 

 

그밖에도 주관적 확률도 있다. 

 

주관적 확률 : 직관력이나 개인의 신념 그리고 기타 간접적인 정보들을 사용하여 확률을 계산하는 것을 

확률의 주관적 정의라고 한다. 

 

그러나 이런 주관적 확률이 과연 확률일까에 대한 의문이 생겼다. 

이런 의문을 해결하기 위해 공리적 확률이 등장하게 된다. 여기서 공리란 기본적인 원칙을 뜻한다. 

 

공리적 확률(콜모고로프의 공리적 확률)은 다음 3가지 조건을 만족한다면, 

사상에 실수값(=P(A))을 대응시킨 건 다 확률이라고 생각한다. 

 

 

표본점들의 확률의 합으로서 사상의 확률 VS 공리적 확률로서의 사상의 확률 

 

공리적 확률로서 사상의 확률을 생각하면, 

개별적으로 확률을 할당하지 않아도 수학적으로 더 간결하고 일반적인 문제를 다룰 수 있다. 

또한 표본점들의 확률을 실수로 표현해야하는 복잡한 경우에는 공리적 확률 접근방식이 더 편리하고 실용적일수 있다. 

 

 

 

 

 

4.2 가법정리 

 

 

가법정리를 증명하는 두가지 방법이 있는데, 

하나는 표본점들의 확률의 합으로 사상의 확률을 생각하는 경우이고 

 

나머지 하나는 공리적 확률의 3가지 조건 중 하나인 배반사상의 합집합의 확률은

각 사상의 확률의 합임을 이용하는 경우이다. → 즉 이걸로 증명할수도 있다는 말은

원소의 확률이 동일하지않은 경우(ex. 윷놀이)에도 가법정리가 성립한다는 말!