32강 확률변수의 변수변환 (1)

 

 

22강 부터 31강 까지 연속형 확률분포의 대표적인 유형을 배웠다. 

 

일반적인 정규분포에서 시작해서 감마분포, 지수분포 , 

카이제곱분포, 로그정규분포.. 와이블분포... 이변량정규분포와 마지막에 다변량정규분포까지

 

다채롭게 배웠다

 

이번에는 다른 주제로 

 

확률분포의 확률변수를 변환하는 방법에 대해서 7장으로 넘어가 배워보기로 한다. 

 

 

6장에서도 살짝 배웠지만 조금 본격적으로 배우는 느낌인 것같다. 

 

크게 이렇게 배울것 같다. 

 

 

1. 이산확률변수의 일변수 함수의 확률변환

 

2. 연속확률변수의 일변수 함수의 확률변환

 

3. 이산확률변수의 이변수 함수의 확률변환

 

4. 연속확률변수의 이변수 함수의 확률변환 

 

 

여기서 제일 어려울 건 4번인 것 같다. 

 

 

<이산형 확률변수 - 1변수> 

 

X는 확률분포 f(x) 인 이산형 확률변수 , 

 

확률변수 Y는 X이 함수로 정의된 확률변수라고 하자. 

 

정확히 말하면 Y = u( X ) 로 정의되고 , 이때 1 대 1 대응관계라고 하자. 

 

1 대 1 대응 관계는 하나의 x에 대응하는 y값은 하나이며 

 

반대로 하나의 y에 대응하는 x값은 하나이므로 . 역함수가 존재한다. 

 

이때 u의 역함수를 w라고 하면,

 

y = u(x) 인 경우에, 

(x가 결정될 때 y가 결정 

x = w( y )  가 성립한다. 

( y가 결정될 때, x가 결정됨) 

 

따라서

 

 x =  w ( u(x) ) , y = u ( w( y ) ) 이 성립되고 , 

( ⇔ x를 y로 바꿨다가 y를 다시 x로 바꿈) 

 

Y의 확률분포를 g(y) 라고 하면, 

 

g( y ) 는 이산형 확률변수인 경우 함수값이 확률이므로 P ( Y = y) 이고 

 

Y가 y로 결정되는 확률은 X 가 w ( y ) 로 결정되는 확률과 같으므로 

( 왜냐하면 , y가 결정되면 함수에의해서 x가 결정되므로 , 

반대로 x가 결정되면 y가 결정되니깐) 

 

P( X = w( y ) ) 과 같고 , 

 

이산형 확률변수의 확률은 다시 함수로 표현 가능하니깐 

 

X 가 w( y)가 될 확률은 X가 f(x)로 정의되었기 때문에, 

 

f( w( y) ) 와 같다. 

 

결론적으로 정리하면, 다음과 같다. 

 

 

 

 

이산형 확률변수의 일변수 변환은 다음과 같다. 

 

 

 

예제를 풀면서 더 잘 이해해보자 

 

 

 

 

 

Y = X^2 은 함수자체만 볼 땐

X와 Y가 서로 1:1 대응관계가 아니지만, 

 

x = 1 , 2, 3, ... 범위를 가질땐 

 

y = x^2 값 사이에는 1: 1 대응 관계를 가진다. 

 

즉 수식자체는 1:1 이 아니더라도 범위를 제한하면 1: 1 대응이 될 수 있다. 

 

x가 결정되면 y가 결정되고 , 

 

y가 결정되면 x가 결정되니깐 이를 토대로 Y의 확률분포를 구해보자 

 

풀이)

 

 

 

 

 

 

 

 

< 이산형 확률변수 - 2변수 > 

 

이번에는 이산형 확률변수인 건 그대로지만 

 

하나가 아닌  두 개의 X1, X2 가 변환해서 Y1 , Y2 가 되는 상황을 생각해보자. 

 

X1, X2 는 결합확률분포가 f( x1, x2) 로 정의된 이산형 확률변수라고 하자. 

 

각각의 Y1, Y2 는  X1과 X2 에 의해서 결정되는데, 

 

구체적으로 

Y1 = u1( X1, X2) , Y2 = u2( X1, X2) 와 같이 Y1과 Y2 가 정의된다. 

 

이때, 한평면에 있는 점인 ( x1, x2 ) 과 

 

또다른 평면에 있는 점인 (y1, y2) 이 서로 1:1 대응 관계가 있을 때 

 

Y1 , Y2의 결합확률분포는 g( y1 , y2) 는 ? 무엇인지 학습해보자 

 

 

 

 

( x1, x2 ) 과  (y1, y2) 은 서로 1:1 대응 관계가 있으므로 

 

 

x1, x2  가 결정되면 y1과 y2는 자동으로 결정된다. 

반대로 생각하면 

 

 

y1과 y2이 결정되면 x1 과  x2는 자동으로 결정된다.   

 

따라서 

 

y1 = u1( x1, x2)와 y2 = u2( x1, x2)의 역관계인 

 

x1 = w1( y1, y2) , x2 = w2( y1, y2) 가 존재한다. 

 

따라서 

 

 

 

 

 

 

이산확률변수의 이변수변환에서 

 

특수한 상황이 있다. 

 

X1과 X2의 함수로 정의되는 하나의 확률변수 로 Y1만 주어지는 경우에

 

Y1 가 u1( X1, X2) 로 정의된다고 하면, 

 

이땐 스스로 Y2를 만들어야 한다. 

 

당연히 (x1, x2 ) ( y1, y2) 가 서로 1: 1대응 관계를 갖도록

 

Y2 = u2( X1, X2)  를 정의해야할 것이다. 

 

이 경우, Y1, Y2 의 결합 확률분포 g( y1, y2)를 얻게되는데 

 

그 다음 부터는 Y1의 주변분포는 결합 확률분포를 통해 얻을 수 있다. 

 

모든 y2에 대하여 결합확률분포를 더하면 y1의 주변분포 ( y1 만의 확률분포) 가 나온다.

 

 

 

예제를 풀어보자 

 

 

 

X1, X2가 서로 독립이므로 , 

 

 

 

 

 

가장 간단하면서도 x1, x2 과 y1 , y2가 1: 1대응이 되도록 하는 

 

Y2의 확률변수를 X2 라고 하자 .

 

Y2 = X2 

 

따라서 역변환이 가능하고 

 

 

 

 

g( y1, y2) 의 식을 구할 수 있다. 

 

 

 

이때, y1과 y2는 각각 어떤 범위를 갖는지 생각해야한다. 

 

 

앞에서 x1 = y1 - y2 이며 , x1 = 0 , 1 , 2.. 값을 갖는다. 

 

x1이 0 이상이어야 하므로 y1 - y2  값이 0 이상이기 위해선 

 

y2는 y1값과 같거나 그 이하여야 한다. 

 

따라서 

 

y1의 범위는 0 , 1 , 2 , ... 이고 

 

y2의 범위는 0 , 1 , 2 , ... y1 이다. 

 

 

이제 Y1 에 대한 주변확률분포를 구할 수 있다. 

 

 

 

 

 

 

 

따라서 

 

 

 

 

확률변수가 y1 = x1 + x2 인 확률밀도함수 

 

 

모수가 μ1 과 μ2 인 포아송 분포를 따르는 서로 독립인 두 확률변수 x1 , x2  의 합

 

y1은 

 

모수가  (μ1 + μ2 ) 인 포아송 분포를 따른다